En 1643, René Descartes escribió a la princesa Isabel del Palatinado, en una carta donde simplificó un problema clásico de la geometría occidental y presentó una solución conocida como el ‘teorema de Descartes’. Este teorema, relacionado con el problema famoso que Frederick Soddy publicó en 1936 en Nature, resume que “la suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas es la mitad del cuadrado de su suma en figuras”.
Descartes descubrió una relación entre los radios de cuatro círculos que se tocan mutuamente, pero nunca expuso el razonamiento detrás de esta relación y tampoco logró desarrollar una fórmula general para más de cuatro círculos. Intuía la existencia de una solución, aunque no consiguió llegar a ella, lo que ha intrigado a los matemáticos desde entonces.
Hace un tiempo, Daniel Mathews y Orion Zymaris, de la Universidad de Monash en Australia, decidieron adoptar un enfoque completamente nuevo.
¿Y si utilizamos herramientas de la física teórica? Esta fue la pregunta que se plantearon. Según Héctor Farrés, en lugar de usar las herramientas de la geometría convencional, exploraron con ‘espinores’, un tipo de objetos en física teórica que requieren un giro de 720 grados para regresar a su estado original.
“Usamos una versión de espinores desarrollada por Roger Penrose y Wolfgang Rindler, aplicada a la teoría de la relatividad”, explicaron los autores. Este método les permitió ‘reconceptualizar’ los círculos como entidades algebraicas susceptibles de transformaciones geométricas.
Esta fue la clave para obtener una fórmula general que describe agrupaciones cada vez más complejas de círculos mutuamente tangentes.
¿Por qué es interesante? Primero, porque soluciona un problema histórico en la geometría. Pero, principalmente, porque lo hace de manera innovadora, abriendo muchas posibilidades.
Cuando Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat, hubo cierta decepción por el uso de herramientas matemáticas modernas. En ese caso, parte del interés del problema era descubrir la demostración que Fermat afirmaba haber encontrado (aunque nunca la escribió).
Con el teorema de Descartes es diferente. No se trataba de hallar un método específico sino de desarrollar una solución. Al hacerlo, se muestra el gran potencial de las matemáticas para superar las limitaciones que nos han estado desafiando por siglos.
Al final, como dijo Arthur C. Clarke, “Cuando un científico distinguido pero de edad avanzada afirma que algo es posible, es casi seguro que tiene razón. Cuando afirma que algo es imposible, es casi seguro que está equivocado.”
Imagen | Frans Hals | Jacob Rus
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